Platon

Une des particularités de Platon, c’est de se référer aux mathématiques et à la science. Approchons ainsi le problème lié à l’incommensurabilité.

Platon et son école ont développé la responsabilité des choses que l’on peut apprendre ou étudier. Platon a valorisé l’étude des nombres et des grandeurs. Il leur donne deux horizons, soit : un savoir les concernant et les objets eux-mêmes de ce savoir. Il y a une problématique du savoir mathématique en tant que tel avec une dimension démonstrative et une notion de preuves, c’est une possibilité de donner certaines preuves à des propositions par entre autres des essais d’analyse, une précision du savoir mathématique, d’autres aspects mathématiques et des modalités de leur formation, support intuitif et capacité de l’esprit et encore la capacité de l’esprit, le savoir sensible et intelligible.

Dans la République, le statut ontologique des nombres et des grandeurs joue un rôle. Il y a un rapport des choses sensibles

Les exigences des résultats mathématiques influent des thèses philosophiques précises.

Il y a une dimension d’évolution. Platon est un expérimentateur d’idées. Il fait une synthèse puissante des philosophes qui l’ont précédé.

Dans son Phédon, nous avons la théorie de la causalité, les idées sont les cause. Les idées ont ainsi une affinité avec les nombres ( précision et détermination ).

Extrait du Phédon, intitulé: les réalités absolues, objets de la pensée pure : "et maintenant, Simmias, que dirons-nous de ce que voici ? Affirmons - nous qu'il existe quelque chose qui est juste ? Ou bien le nions-nous ? - Par Zeus ! bien sûr, nous l'affirmons!- Et qu'il existe quelque chose qui n'est que beau, quelque chose qui n'est que bon ? - Comment le nier ? - Mais as-tu jamais vu déjà aucune réalité de cette sorte ? En aucune façon ! dit-il Eh bien ! est-ce par le mode de sensation, autres que ceux dont le corps est l'instrument, que tu les as atteintes? Or, c'est de toutes que je veux parler, de la grandeur, de la bonne santé, de la force, de la réalité de tout ce qui existe encore, sans exception; c'est-à-dire ce qu'est justement chacune.

"Récapitulons maintenant la structure du Ménon:
Image: Trois hypothèses dont la réfutation amène la Première Aporie.

Critère: La Vertu est un bien
Alternative:	Le Bien est-il science ou peut-il être séparé de la science.
Détermination et Notion: la vertu est doute	Le bien est science
Essence et Aporie finale Epreuve par les conséquences:	Ne peut être considéré comme science qu'une discipline qui s'enseigne et qui s'apprend effectivement. Or la vertu n'a ni maîtres ni élèves.
Aporie seconde
Epreuve par hypothèse supérieure:	Le Bien (l'Utile) peut également être opinion vraie. La Vertu qui est un bien, n'étant pas une science, doit être une opinion vraie.

Ainsi : si quelque chose est beau, cela s’explique par la participation au beau. Platon applique ce style de réflexion aux nombres. Ainsi, pour 2, la cause du 2 est 2 ( la division, l’addition sont à écarter ).

Il y a une opposition entre les idées qui sont causes mais aussi les nombres qui sont causes des circonstances dans lesquelles les nombres ou idées sont « exemplifiés ». Nous avons un niveau de non- spatio-temporel dans tout ce qu’il y a dans une idée ou un nombre et un niveau de spatio-temporel dans tout ce qu’il y a dans une idée ou un nombre.

C’est l’opposition entre le vague, l’imprécis et l’exactitude. L’opposition entre précis et circonscrit. ( la limite comme to peras, l’absence de limite comme to apeiron). Cela recoupe l’opposition des idées et des nombres et des circonstances spatio-temporelles dans lesquelles nos vivons et périssons. L’opposition entre to peras et to apeiron est localisé dans le domaine du temps et de l’espace.

La problématique de l’incommensurabilité des grandeurs est un problème purement mathématique – géométrique. Nous avons des preuves d’incommensurabilités ( la diagonale du carré ). C’est par exemple le problème du rapport du côté d’un carré et de sa diagonale. Ainsi si le côté est égal à 1, sa diagonale portée au carré fait 2. Si nécessaire revoir le Théorème de Pythagore.

Tenter l’approximation d’un rapport ( logos ) et non d’une grandeur. Pour les Grecs un rapport n’est pas une grandeur. De ce rapport, nous cherchons à faire des approximations. Nous y trouvons du plus et du moins. Le mot clé pour cette question est : l’anthupharesis. Cela permet la comparaison, de voir combien de fois la plus petite grandeur est dans le plus grand. Nous allons avoir un reste et nous nous demandons combien de fois nous pouvons le mettre dans le plus grand. Ainsi, nous avons une séquence d’entiers positifs définis dont la longueur peut varier. Cela permet d’ordonner le rapport selon le plus ou le moins, car nous voulons arriver de plus en plus près du rapport b et a qui est problématique puisqu’il y a des incommensurabilités

Le rapport du plus petit au plus grand est conservé dans le carré. Comment ces deux rapports se comportent de l’un à l’autre ? Il importe d’obtenir par analyse cette différence.

Le rapport b/a au carré est un rapport de 2 à 1. Combien de fois le plus petit dans le plus grand ? Le rapport b/a est la valeur de référence.

Dans la seconde tentative nous conservons la dimension définie obtenue et nous « approximons » à l’aide du rapport 3/2 qui devient 9/4 ainsi 4 va deux fois en 9, donc il y a un reste, c’est un cas d’excès.

Dans la seconde tentative, il y a défaut car nous mettons 1x16 dans 25, donc le rapport est plus petit. Il est égal au rapport 10/8.

Cela ne nous donne pas quelque chose comme une alternance régulière dans l’excès et dans le défaut. Pour chaque pas d’approximation, nous nous approchons du rapport qui nous intéresse.. Cette démarche n’a pas de terme. A chaque pas nous définissons une tentative qui intervient dans le plus ou le moins, ce pas est de plus en plus fin. Cette démarche peut indéfiniment se continuer. Ce procédé a influencé Platon.

Lors de ses investigations sur le principe des êtres, puisque le nombre lui semblait être par nature premier par rapport aux autres êtres ,et en effet les limites de la ligne sont les points, or les points sont des unités qui occupent une position, et sans ligne n’existent ni surface ni solide, mais le nombre peut également exister indépendamment d’eux ; puisque donc le nombre lui semblait être par nature premier par rapport aux êtres, Platon considérait que celui- ci est principe et que les principes du premier nombre sont aussi les principes de chaque nombre.. Or le premier est une dyade, dont il disait qu’elle avait à la fois l’Un et le Grand et le Petit pour principes. En effet, en tant qu’elle est dyade, elle contient en elle à la fois le Beaucoup et le Peu ; dans la mesure où le double est en elle, le Beaucoup ( le beaucoup car le double est en quelque manière et excès et grandeur ), mais dans la mesure où la moitié est en elle, le Peu. C’est pourquoi, excès et défaut, grand et petit sont en elle de la même manière. Or c’est en tant que chacune des parties de la dyade es tune monade et en tant que la dyade est une forme déterminée, le dyatique, que la dyade participe à la monade. C’est pourquoi il a appelé principes de la dyade l’Un et le Grand et le Petit. Et il a dit que la dyade était indéfinie parce que, participant au grand et au petit ou en vérité au plus grand et au plus petit, elle contient le plus et le moins. : Car les choses progressant toujours selon la tension ou le relâchement, elles ne s’arrêtent pas, mais s’avancent vers l’indétermination de l’infinitude. Et donc puisque la dyade est le premier des nombres et que les principes de celle-ci sont l’Un et le Grand et le Petit, ces principes-ci sont nécessairement aussi principes de chaque nombre. Or les nombres sont les éléments de tous les êtres, c’est pourquoi l’Un, le Grand et le Petit ou en vérité la dyade indéfinie sont aussi les principes de tous les êtres. Et en effet chaque nombre, en tant qu’il est nombre et qu’il est un et qu’il est défini, participe à l’Un, mais en tant qu’il est divisé et multiple participe de la dyade infinie. Or Platon disait aussi que les idées sont des nombres. A bon droit il considérait les principes du nombre également comme les principes des idées. Et il disait que la dyade relève de l’Infini parce que le Grand et le Petit ou en vérité le plus grand et la plus petit ne sont pas définis, mais contiennent le plus ou le moins qui progressent à l’infini. Ainsi donc, après avoir dit en quelles choses les pythagoriciens d’une part, Platon d’autre part posaient t l’Infini, Aristote rapporte aussitôt ce que les pythagoriciens nommaient infini et pourquoi.

Unité élémentaire désignant la relation entre deux entités, par opposition à « monade »; de même, « triade » désigne une unité constituée de trois éléments; « tétrade », une unité constituée de quatre éléments, etc.

Le grand et le petit sont appelés: dyade indéfinie. Dualisme du principe de l’un et de l’Autre. La diagonale est une sorte de source des grandeurs dont on se servait dans l’approximation, c’est une sorte de puissance et tendance pour approcher d’une valeur qui « échappe ».

Ainsi interpellons- nous encore sur le Beau et l'harmonie, sur le Bien et le rapport de l’Un et le Bien quelque chose converge.

Le beau, par exemple, étant, je pense, le contraire du laid, le juste le contraire de l’injuste et mille autres cas évidemment où il en est de même. Voilà donc, sur quoi devra porter notre examen : est-il forcé que, dans tous les cas où il existe un contraire, ce contraire ne vienne de nulle part ailleurs à l’existence, sinon à partir de ce qui en est le contraire ? Ainsi, quand une chose devient plus grande, c’est forcément, je pense, à partir de plus petite qu’elle était auparavant qu’elle devient plus grande, c’est forcément, je pense, à partir de plus en plus petite qu’elle était auparavant qu’elle devient ensuite plus grande ?

Il est vrai qu’ici nous pourrions aussi nous interpeller sur l’approche des contraires que nous retrouvons dans l’intitulé : preuve de l’immortalité, fondée sur la théorie des contraires.

Il est néanmoins intéressant de s’intéresser à la question suivante : pourquoi les idées seraient des nombres ?

Voyons encore l’extrait suivant tiré de, les objets des sens et les objets de la pensée :

L’Egal en soi,, le Beau en soi, la réalité en soi de chaque chose, son être, se peut-il que cela soit susceptible de changement, et même du moindre changement ? Ce qu’est chacune de ces choses, l’unicité en soi et par soi de son être, cela garde-t-il toujours identiquement les mêmes rapports et admet-il jamais, nulle part, d’aucune façon, aucune altération ?

Avant de naître, et aussitôt nés, nous connaissions, non pas seulement l’Egal avec le Plus –grand et le Plus- petit, mais encore, sans réserve tout ce qui est du même ordre. Car ce n’est pas plus sur l’Egal que porte notre raisonnement, plutôt que sur le Beau qui n’est que cela, sur le Bon qui n’est que cela, sur le Juste, sur le Saint, et, je le répète, sut tout ce que, sans exception, nous marquons de cette empreinte : « réalité qui n’est que soi » ; aussi bien dans nos interrogations quand nous interrogeons, que dans nos réponses quand nous répondons.

Pourrions – nous voir dans cette réalité qui n’est que soi une analogie avec les nombres ?

Encore un extrait du Phédon, intitulé : réflexions générales sur le problème de la génération et de la corruption :

Si 10 est plus que 8, c’était selon moi parce que 2 se joint à ce dernier nombre, ou, si la longueur de deux coudées est plus grande que la longueur d’une coudée, que c’est parce qu’elle la surpasse de sa moitié.- Mais à présent dit Cébès, qu’en est-il à ce sujet selon toi ? – Il en est, par Zeus ! dit-il, que je pense être fort loin de me croire, à propos d’une quelconque de ces choses, instruit de sa cause ; moi qui ne me permets même pas à moi-même, lorsque à une unité on ajoute une unité, de dire si c’est l’unité à laquelle cette dernière a été ajoutée qui est devenue 2 ou, si c’est l’unité ajoutée et celle qui a reçu cette adjonction de l’une à l’autre qui, du fait de cette adjonction de l’une à l’autre sont devenues 2 ! C’est pour moi un sujet d’étonnement que, lorsqu’elles étaient chacune, à part l’une de l’autre, chacune des deux fût visiblement unité et qu’alors il n’y eût pas de 2 ; et que, une fois qu’elles se sont rapprochées, il n’a fallu, paraît-il, pour faire qu’elles devinssent 2 , d’autre cause que leur réunion par voie de mutuelle juxtaposition !

1 est une pluralité de l’unité, soit le genre des nombres comme pluralité de l’unité.

Nous pouvons nous poser aussi la question de l’harmonie dans : examen de la conception de Simmias :

Mais cela s’applique-t-il au cas de l’âme ? En telle sorte que, si peu que ce soit, une âme puisse être âme avec plus s’étendue et plus complètement qu’une autre ? ou bien peut-être, avec moins d’étendue et moins complètement, cela même, je veux dire une âme ? – Non, dit-il, pas le moins du monde !- Alors par Zeus, repartit Socrate, poursuivons donc ! Ne dit-on pas d’une âme, tantôt qu’elle est raisonnable, vertueuse, bref qu’elle est bonne, et tantôt qu’elle est déraisonnable, perverse, bref qu’elle est mauvaise ? Et c’est avec vérité qu’on dit cela ? - Avec vérité assurément ! - Or, comment un partisan de l’âme-harmonie définira-t-il donc qu’elle existence possèdent, dans les âmes, la vertu comme le vice ? Dirait -il que c’est là une autre harmonie encore, et une autre désarharmonie ? que l’une a été harmonisée, la bonne, c’est-à-dire qu’en elle-même, et étant harmonie, elle possède une seconde harmonie ; tandis que celle à qui fait défaut l’harmonisation, à la fois est, en tant qu’âme, une harmonie et n’en possède pas en soi une seconde ? – Pour ma part, dit Simmias, je ne suis pas à même de répondre ; mais ce seraient évidemment des choses de ce genre que dirait le sectateur de cette doctrine.- Un accord antérieur ne s’est –il pas établi cependant entre nous, dit Socrate, qu’une âme n’est en rien plus âme, pas davantage moins âme, qu’une autre âme ? et la matière de cet accord n’était-elle pas qu’une harmonie n’est en rien plus complète, ou moins complète, pas davantage plus étendue ou moins étendue qu’une autre harmonie ? N’est-ce pas cela en effet ? – Hé ! absolument.- Et, en tout cas, que, n’étant en rien plus complètement ou moins complètement harmonie, il n’y a eu ni plus complète, ni moins complètement harmonie, il n’y a eu ni plus complète, ni moins complète harmonisation ? Est-ce exact ? - C’est exact. - Or, cette harmonie, résultat d’une harmonisation qui n’est ni plus complète, ni moins complète, est – il possible qu’elle participe de l’harmonie à un plus haut ou à un plus bas degré ? ou bien est-ce dans une égale mesure ? – Dans une égale mesure.- Donc, l’âme, puisqu’une telle n’est en rien plus complètement ou moins complètement que telle autre ceci précisément, savoir une âme, n’a pas, par suite, reçu non plus d’harmonisation plus complète ou moins complète !

Je vous conseille de visiter le site suivant qui est un bon répertoire de sites sur Platon, soit :